[일반통계학] 12. 표본분포

랜덤표본과 통계량

1. 유한모집단에서의 랜덤표본(random sample)이란 단순랜덤비복원추출을 통해 얻은 표본을 말한다. 일반적으로 비복원추출의 결과는 서로 종속적이나, 초기하분포의 이항근사에서 알 수 있듯이 모집단의 크기가 충분히 클 경우 이러한 종속성이 희석되고 각각의 추출 결과가 서로 독립에 가깝게 된다. 이에 착안하여 무한모집단에서의 랜덤표본을 서로 독립이고 모집단과 동일한 분포를 따르는 확률변수들로 정의한다.

 

2. 모집단 분포에 대한 모형을 설정할 때 사용되는 매개변수, 즉 모집단 분포를 결정짓는 미지의 특성치를 모수(population parameter)라고 하며, 흔히 $\theta$로 나타낸다. 가능한 모수 전체의 집합을 모수공간(parameter space)이라고 하며 $\Omega$로 나타낸다. 모집단 분포는 확률밀도함수 $f(x;\theta)$로 나타낸다. 랜덤표본은 $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$ 등으로 나타내고, 이 때 $$ X_1, X_2, \cdots, X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} f(x;\theta),\ \theta \in \Omega$$이다. 모수에 대한 추측을 목적으로 사용하는 랜덤표본의 관측 가능한 함수 $u(X_1, X_2, \cdots, X_n)$을 통계량(statistic)이라고 하며, 대표적인 통계량으로는 표본평균과 표본분산, 표본적률 등이 있다. 통계량의 분포를 표본분포(sampling distribution)라고 한다.

 

3. 평균이 $\mu$, 분산이 $\sigma^2$, $4$차 중심적률이 $\mu_4$인 모집단으로부터 얻은 랜덤표본을 $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$이라 하자. 표본평균 $\bar{X}$와 표본분산 $S^2$는 각각 다음과 같이 정의한다. $$\begin{align} \bar{X} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \\ S^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 \end{align}$$

 

3-1. 표본평균 $\bar{X}$의 기댓값과 분산은 다음과 같다. $$\mathbb{E}(\bar{X}) = \mu,\ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} $$

 

3-2. 표본분산 $S^2$의 기댓값을 구해보자. 이를 위해 $Y_i = X_i - \mu$, $\bar{Y} = \bar{X} - \mu$로 두고 편차제곱합 부분을 정리하면 다음과 같다. $$\begin{align} S^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \\ &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2 \\ &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}  ({Y_i}^2 - 2Y_i \bar{Y} + {\bar{Y}}^2) \\ &=\frac{1}{n-1}\left( \sum_{i=1}^{n} {Y_i}^2 - 2 \bar{Y} \sum_{i=1}^{n} Y_i + n{\bar{Y}}^2 \right) \\ &= \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n} {Y_i}^2 - n{\bar{Y}}^2 \right) \end{align}$$ 따라서 $$\begin{align} \mathbb{E}(S^2) &= \frac{1}{n-1}\mathbb{E} \left( \sum_{i=1}^{n}  {Y_i}^2 - n{\bar{Y}}^2 \right) \\ &=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}({Y_i}^2) -n \mathbb{E} ({\bar{Y}}^2) \right)  \\ &=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}\text{Var}(X_i) -n  \text{Var}(\bar{X}) \right) \\ &=\frac{1}{n-1}(n\sigma^2 - \sigma^2)  \\ &= \sigma^2 \end{align}$$을 얻는다.

 

3-3. 표본분산 $S^2$의 분산을 구해보자. $\text{Var}(S^2) = \mathbb{E}(S^4) - [\mathbb{E}(S^2)]^2$이고 $\mathbb{E}(S^2) = \sigma^2$임을 밝혔으므로 $\mathbb{E}(S^4)$만 구하면 된다. $S^4$은 $$S^4 = \frac{A-2nB+n^2C}{(n-1)^2} $$의 꼴로 표현할 수 있다. $A$, $B$, $C$의 기댓값을 각각 구해보자. 먼저 $$\begin{align} \mathbb{E}(A) &= \mathbb{E} \left[  \left(\sum_{i=1}^{n} {Y_i}^2 \right)^2 \right] \\ &= \mathbb{E} \left[\sum_{i=1}^{n} {Y_i}^4 + 2 \sum_{i>j} {Y_i}^2 {Y_j}^2 \right] \\ &=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}({Y_i}^4) + 2\sum_{i>j} \mathbb{E}({Y_i}^2 {Y_j}^2) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}({Y_i}^4) + 2 \sum_{i>j} \mathbb{E}({Y_i}^2) \mathbb{E}({Y_j}^2) \\ &=n\mu_4 + n(n-1)\sigma^4 \end{align}$$이다. 다음으로 $$\begin{align} \mathbb{E}(B) &= \mathbb{E} \left[{\bar{Y}}^2 \sum_{i=1}^{n}{Y_i}^2 \right] \\ &=\frac{1}{n^2}\mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=1}^{n} Y_i \right)^2 \sum_{i=1}^{n}{Y_i}^2 \right] \\ &=\frac{1}{n^2} \mathbb{E} \left[\left( \sum_{i=1}^{n}{Y_i}^2 + 2\sum_{i>j}{Y_i Y_j} \right) \sum_{i=1}^{n}{Y_i}^2 \right] \\ &= \frac{1}{n^2} \mathbb{E}(A) \\ &= \frac{1}{n^2}(n\mu_4 + n(n-1)\sigma^4) \end{align}$$인데, 네 번째 등호에서는 $\mathbb{E}(Y_i) = 0$임을 이용하여 $\sum \mathbb{E}(Y_i Y_j)$가 포함된 항을 소거하였다. 마지막으로 $$\begin{align} \mathbb{E}(C) &=\mathbb{E} ({\bar{Y}}^4) \\ &=\frac{1}{n^4} \mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=1}^{n} Y_i \right)^4 \right] \\ &=\frac{1}{n^4} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=1}^{n}{Y_i}^2 + 2\sum_{i>j}Y_i Y_j \right)^2 \right] \\ &=\frac{1}{n^4 } \left(\mathbb{E}(A)+ 4 \sum_{i>j,\  k>l} \mathbb{E} ( Y_i Y_j Y_k Y_l) \right) \\ &=\frac{1}{n^4}\left(\mathbb{E}(A) + 4 \sum_{i>j}\mathbb{E}({Y_i}^2 {Y_j}^2) \right) \\ &= \frac{1}{n^4} (n\mu_4 + 3n(n-1)\sigma^4) \end{align}$$이다. 다섯 번째 등호에서는  $\sum \mathbb{E}(Y_i Y_j Y_k Y_l)$이 $0$이 아닌 값을 가지기 위해서는 $\{i, j \}$와 $\{k, l\}$이 동일한 집합이어야 함을 이용하였다. 이제 대입하여 정리하면 $$\begin{align} \mathbb{E}(S^2) &= \frac{\mathbb{E}(A) - 2n\mathbb{E}(B) + n^2 \mathbb{E}(C)}{(n-1)^2} \\ &= \frac{\mu_4}{n} + \frac{(n^2 -2n+3)\sigma^4}{n(n-1)}\end{align}$$이고, 이로부터 $$\begin{align}\text{Var}(S^2) &= \mathbb{E}(S^4) - [\mathbb{E}(S^2)]^2 \\ &= \frac{1}{n} \left(\mu_4 - \frac{n-3}{n-1} \sigma^4 \right) \end{align}$$을 얻는다. 혹은 모초과첨도 $\kappa = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3$을 이용해 표현하면 $$ \text{Var}(S^2) = \frac{\sigma^4}{n}\left(\kappa + \frac{2n}{n-1} \right)$$

카이제곱분포와 t분포

1. 서로 독립인 표준정규확률변수 $Z_1$, $Z_2$, ..., $Z_r$에 대하여 $$V = {Z_1}^2 + {Z_2}^2+\cdots+{Z_r}^2 $$일 때, 확률변수 $V$는 자유도(degrees of freedom)가 $r$인 카이제곱분포(chi-squared distribution)를 따른다고 하며 $V \sim \chi^2(r)$로 표기한다. 앞선 포스팅에서 $Z \sim \text{N}(0, 1)$일 때 $Z^2 \sim \text{Gamma} ( \frac{1}{2}, 2 )$임을 살펴 보았다. 따라서 감마분포의 가법성에 의해 $V \sim \text{Gamma}(\frac{r}{2}, 2)$임을 쉽게 알 수 있다. 즉, 카이제곱분포는 감마분포의 일종이며 그 확률밀도함수는 아래와 같이 주어진다. $$ f(v) = \frac{v^{\frac{r}{2}-1} e^{-\frac{v}{2}}}{\Gamma \! \left( \! \frac{r}{2} \! \right) 2^{\frac{r}{2}}} ,\ \ v \in (0, \infty)$$ 감마분포의 성질로부터 $V \sim \chi^2 (r)$의 기댓값과 분산을 구할 수 있다. $$\mathbb{E}(V) = r,\ \text{Var}(V) = 2r $$자유도에 따른 카이제곱분포의 개형은 다음과 같다.

2. 서로 독립인 표준정규확률변수 $Z$와 자유도 $r$의 카이제곱확률변수 $V$에 대하여 $$ X = \frac{Z}{\sqrt{\frac{V}{r}}}$$일 때, 확률변수 $X$는 자유도 $r$인 $t$분포를 따른다고 하며 $X \sim t(r)$로 표기한다. $X$의 확률밀도함수를 구하기 위해 $Y=\sqrt{\frac{V}{r}}$로 두면 $Z=XY$, $V=rY^2$이고 $\vert \det \mathbf{J}_{\mathbf{u}^{-1}} \vert = 2ry^2$이다. $Z$와 $V$의 결합확률밀도함수가 $$f_{Z, V}(z, v)=\frac{v^{\frac{r}{2}-1}e^{-\frac{v+z^2}{2}}}{\Gamma \! \left( \! \frac{1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r}{2} \! \right) 2^{\frac{r+1}{2}}}$$이므로, $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수는 $$\begin{align} f_{X, Y}(x, y) &=\frac{(ry^2)^{\frac{r}{2}-1}e^{-\frac{(r+x^2)y^2}{2}}(2ry^2)}{\Gamma \! \left( \! \frac{1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r}{2} \! \right)  2^{\frac{r+1}{2}}} \\ &=\frac{r^{\frac{r}{2}} y^r e^{-\frac{(r+x^2)y^2}{2}}}{\Gamma \! \left( \! \frac{1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r}{2} \! \right) 2^{\frac{r-1}{2}}} \end{align}$$이다. $f_X(x) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x, y)\ dy$를 계산하기 위해 $\frac{(r+x^2)y^2}{2} = u$로 치환하면 $$\begin{align} y &= \frac{(2u)^{\frac{1}{2}}}{(r+x^2)^{\frac{1}{2}}}\\ dy &= \frac{(2u)^{-\frac{1}{2}}}{(r+x^2)^{\frac{1}{2}}} du  \end{align}$$이고, $$\begin{align} f_X(x) &=  \frac{r^{\frac{r}{2}} \int_{0}^{\infty} u^{\frac{r-1}{2}} e^{-u}\ du }{\Gamma \! \left( \! \frac{1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r}{2} \! \right) (r+x^2)^{\frac{r+1}{2}} } \\ &=\frac{\Gamma \! \left( \! \frac{r+1}{2} \! \right)}{\Gamma \! \left( \! \frac{1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r}{2} \! \right) } \frac{1}{r^{\frac{1}{2}} \left( \! 1 + \frac{x^2}{r} \! \right)^{\frac{r+1}{2}}} \end{align}$$을 얻는다. 위 식으로부터 $\text{Cauchy}(0, 1)$은 $r=1$인 경우의 $t$분포임을 알 수 있다.

 

$X \sim t(r)$의 기댓값과 분산은 각각 $r>1$, $r>2$인 경우에 다음과 같다. $$\mathbb{E}(X) = 0,\ \text{Var}(X) = \frac{r}{r-2} $$ 즉, 자유도가 커짐에 따라 $X$의 분산이 $1$로 수렴함을 알 수 있으며, 이는 아래의 그래프에서도 확인할 수 있다.

3. 자유도 $r$인 카이제곱분포 및 $t$분포에서의 상방 $\alpha$분위수를 각각 $\chi^2 _{\alpha}(r)$, $t_{\alpha}(r)$로 표기한다. $t$분포의 경우 $x=0$을 기준으로 좌우 대칭이므로 $t_{1-\alpha}(r) = -t_{\alpha}(r)$의 관계가 성립한다.

정규모집단에서 표본분포에 관한 기본 정리

$\text{N}(\mu, \sigma^2)$으로부터의 랜덤표본 $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$에 대하여 다음이 성립한다.

 

1. (표본평균의 분포) $$\bar{X} \sim \text{N} \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$ 이는 적률생성함수를 이용하거나 정규분포의 성질을 통해 쉽게 보일 수 있다. 표준화된 형태로 나타내면 다음과 같다. $$\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \text{N}(0, 1) $$

 

2. (표본평균과 표본분산의 독립성) $$\bar{X} \perp S^2$$ 일반적인 경우에 대한 증명은 다차원 확률변수에 대한 논의가 필요하므로 여기에서는 $n=2$인 경우만을 고려해 보자. $$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2},\ \ S^2 = \frac{(X_1 - X_2)^2}{2}$$ 식을 정리하면 $$X_1 = \bar{X} + \frac{S}{\sqrt{2}},\ \ X_2 = \bar{X} - \frac{S}{\sqrt{2}} $$이고 $\vert \det {\mathbf{J}_{\mathbf{u}^{-1}}} \vert = \sqrt{2} $이다. $X_1$, $X_2$의 결합확률밀도함수가 $$f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) = \frac{1}{2 \pi \sigma^2} e^{-\frac{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 2 \mu (x_1 + x_2 ) +2 \mu^2}{2 \sigma^2}} $$이므로, $\bar{X}$, $S$의 결합확률밀도함수는 $$\begin{align} f_{\bar{X}, S} (\bar{x}, s ) &=  \frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma^2}e^{-\frac{2( \bar{x} -\mu)^2 + s^2 }{2 \sigma^2}} \\ &= \frac{e^{-\frac{(\bar{x}-\mu)^2}{2 \left ( \! \frac{\sigma}{\sqrt{2}}\! \right )^2}}}{\sqrt{2 \pi} \left ( \! \frac{\sigma}{\sqrt{2}}\! \right)}\cdot \frac{e^{-\frac{s^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2 \pi} \sigma } \end{align}$$이고, 이는 $\bar{X} \sim \text{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{2})$, $S \sim \text{N}(0, \sigma^2)$의 주변확률밀도함수의 곱의 형태이다. $\bar{X}$, $S$가 서로 독립이므로 $\bar{X}$, $S^2$ 또한 서로 독립임을 알 수 있다.

 

3. (표본분산의 분포) $$\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$ 2로부터 $\frac{S}{\sigma} \sim \text{N}(0, 1)$이고, 따라서 $\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 (1)$이다. 카이제곱분포의 가법성으로부터 원하는 바를 얻는다.

 

4. (모평균의 추론) 1~3 및 $t$분포의 정의로부터 $$\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1) $$ 임을 알 수 있으며, 따라서 $$P \left [ \left \vert \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \right \vert \le t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \right ]=1-\alpha $$이다. 이 때 구간 $$\left[ \bar{X}-\frac{t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)S}{\sqrt{n}},\ \bar{X}+\frac{t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)S}{\sqrt{n}} \right]$$을 모평균 $\mu$에 대한 신뢰수준(confidence level) $(1-\alpha)$의 신뢰구간(confidence interval)이라고 한다.

 

5. (모분산의 추론) 3으로부터 모분산 $\sigma^2$에 대한 신뢰수준 $(1-\alpha)$의 신뢰구간이 $$\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)},\ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right]$$임을 알 수 있다.

F분포

1. 서로 독립인 두 카이제곱확률변수 $V_1 \sim \chi^2(r_1)$, $V_2 \sim \chi^2(r_2)$에 대하여 $$X = \frac{\frac{V_1}{r_1}}{\frac{V_2}{r_2}} $$일 때, 확률변수 $X$는 자유도가 $(r_1, r_2)$인 $F$분포를 따른다고 하며 $X \sim F(r_1, r_2)$로 표기한다. $X$의 확률밀도함수를 구하기 위해 $Y = \frac{V_2}{r_2}$로 두면 $V_1 = r_1 XY$, $V_2 = r_2 Y$이고 $\vert \det \mathbf{J}_{\mathbf{u}^{-1}} \vert = r_1 r_2 y$이다. $V_1$, $V_2$의 결합확률밀도함수가 $$f_{V_1, V_2}(v_1, v_2) =\frac{v_1^{\frac{r_1}{2}-1}v_2^{\frac{r_2}{2}-1}e^{-\frac{v_1 + v_2}{2}}}{\Gamma \! \left( \! \frac{r_1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r_2}{2}\! \right) 2^{\frac{r_1 + r_2}{2}} }  $$이므로, $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수는 $$\begin{align} f_{X, Y}(x, y) &= \frac{(r_1 xy)^{\frac{r_1}{2}-1} (r_2 y)^{\frac{r_2}{2}-1} e^{-\frac{(r_1 x +r_2)y}{2}}(r_1 r_2 y)}{\Gamma \! \left( \! \frac{r_1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r_2}{2}\! \right) 2^{\frac{r_1 + r_2}{2}} }  \\ &= \frac{r_1^{\frac{r_1}{2}}r_2^{\frac{r_2}{2}}x^{\frac{r_1}{2}-1}y^{\frac{r_1+r_2}{2}-1}e^{-\frac{(r_2+r_1 x)y}{2}}}{\Gamma \! \left( \! \frac{r_1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r_2}{2}\! \right) 2^{\frac{r_1 + r_2}{2}}} \end{align}$$이다. $f_X(x) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x, y)\ dy$를 계산하기 위해 $\frac{(r_2+r_1 x)y}{2} = u$로 치환하면 $$\begin{align} y &= \frac{2u}{r_2 + r_1x}\\ dy &= \frac{2}{r_2 + r_1 x} du  \end{align}$$이고, $$\begin{align} f_X(x) &= \frac{r_1^{\frac{r_1}{2}}r_2^{\frac{r_2}{2}}x^{\frac{r_1}{2}-1} \int_{0}^{\infty}u^{\frac{r_1 + r_2}{2}-1} e^{-u}\ du }{\Gamma \! \left( \! \frac{r_1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r_2}{2}\! \right) (r_2 + r_1 x)^{\frac{r_1 + r_2}{2}}} \\ &=\frac{\Gamma \! \left( \! \frac{r_1 + r_2}{2} \! \right)}{\Gamma \! \left( \! \frac{r_1}{2} \! \right) \Gamma \! \left( \! \frac{r_2}{2}\! \right) } \frac{\left( \! \frac{r_1}{r_2} \! \right)^{\frac{r_1}{2}} x^{\frac{r_1}{2}-1}}{\left( \! 1+ \frac{r_1}{r_2}x\! \right)^{\frac{r_1 + r_2}{2}}},\ \ x \in (0, \infty) \end{align}$$을 얻는다. $X \sim F(r_1, r_2)$의 기댓값과 분산은 각각 $r_2 > 2$, $r_2>4$일 때 다음과 같다. $$\begin{align} \mathbb{E}(X) &= \frac{r_2}{r_2 - 2} \\ \text{Var}(X) &= \frac{2 {r_2}^2 (r_1 +r_2 - 2)}{r_1 (r_2-2)^2 (r_2-4)}\end{align}$$

 

자유도에 따른 $F$분포의 개형은 다음과 같다.

 

2. $X \sim F(r_1, r_2)$일 때 상방 $\alpha$분위수를 $F_{\alpha}(r_1, r_2)$로 표기하면 $$P[X \ge F_{1-\alpha}(r_1, r_2)] =1- \alpha $$이고, 따라서 $$P[X \le F_{1-\alpha}(r_1, r_2)] = \alpha $$이다. 대괄호 안의 부등식에 역수를 취하면 $$P \left[\frac{1}{X} \ge \frac{1}{F_{1-\alpha}(r_1, r_2)} \right] = \alpha $$를 얻는다. 그런데 $F$분포의 정의로부터 $\frac{1}{X} \sim F(r_2, r_1)$이므로 $$P \left[ \frac{1}{X} \ge F_{\alpha}(r_2, r_1) \right] = \alpha $$이고, 이로부터 다음 등식을 얻는다. $$F_{1-\alpha}(r_1, r_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(r_2, r_1)} $$

 

3. $X \sim t(r)$이면 $X^2 \sim F(1, r)$이 성립한다. 이는 카이제곱분포, $t$분포, $F$분포의 정의로부터 자명하다.

 

4. (두 정규모집단에서 모분산의 비교) 모분산이 ${\sigma_1}^2$, ${\sigma_2}^2$인 두 정규모집단으로부터 추출한 크기 $n_1$, $n_2$인 랜덤표본을 가정하자. 이 때 두 랜덤표본은 서로 독립이며 표본분산 ${S_1}^2$, ${S_2}^2$을 가진다고 하자. 표본분산의 성질로부터 $$\begin{align} \frac{(n_1-1){S_1}^2}{{\sigma_1}^2}  &\sim \chi^2 (n_1-1) \\ \frac{(n_2-1){S_2}^2}{{\sigma_2}^2}  &\sim \chi^2 (n_2-1)  \end{align}$$이므로, $F$분포의 정의에 의해 다음이 성립한다. $$ \frac{\frac{{S_1}^2}{{\sigma_1}^2}}{\frac{{S_2}^2}{{\sigma_2}^2}} \sim F(n_1\!-\!1,\ n_2\!-\!1)$$ 이로부터 모분산의 비 $\frac{{\sigma_1}^2}{{\sigma_2}^2}$에 대한 신뢰수준 $(1-\alpha)$의 신뢰구간이 $$\left[\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1\!-\!1,\ n_2\!-\!1)} \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2},\ F_{\frac{\alpha}{2}}(n_2\!-\!1,\ n_1\!-\!1) \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2} \right] $$임을 알 수 있다.

References

김우철, 개정판 수리통계학

송성주·전명식, 수리통계학 제5판