[일반통계학] 10. 야코비안

야코비안

1. 일급 다변수 벡터함수 $\mathbf{f}:D(\subset \mathbb{R}^n) \to \mathbb{R}^m$가 $\mathbf{x} = (x_1, \ x_2,\  \cdots, \ x_n) \in D$를 다음과 같이 변환시킨다고 하자. $$\begin{align} \mathbf{f}(\mathbf{x}) &= \left(f_1(\mathbf{x}),\  f_2(\mathbf{x}),\  \cdots, \ f_m(\mathbf{x}) \right) \\ &= (y_1, \ y_2, \ \cdots, \ y_m) = \mathbf{y} \in \mathbb{R}^m \end{align}$$ 이 때 아래의 $m \times n$ 행렬을 $\mathbf{f}$의 야코비 행렬(Jacobian matrix)이라 하고 $\mathbf{J}_{\mathbf{f}}$, $D\mathbf{f}$, $\nabla{\mathbf{f}}$ 등으로 표기한다. $$ \mathbf{J}_{\mathbf{f}} = \begin{pmatrix} \cfrac{\partial y_1}{\partial x_1}  & \cdots & \cfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \cfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{pmatrix} = \left( \frac{\partial y_i}{\partial x_j} \right)_{1 \le i \le m,\  1 \le j \le n}$$ 야코비 행렬은 다변수 벡터함수의 전 도함수(total derivative; $\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$)를 의미한다.

 

1-1. 함수 $\mathbf{f}:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$가 $$\begin{align} \mathbf{f}(u,\ v) &= \left(\!\frac{u+v}{2},\ \frac{u-v}{2} \!\right)  \\ &= (x,\ y) \end{align}$$로 주어질 때, 그 야코비 행렬은 다음과 같다. $$\mathbf{J}_{\mathbf{f}} = \begin{pmatrix} \cfrac{\partial x}{\partial u} & \cfrac{\partial x}{\partial v} \\ \cfrac{\partial y}{\partial u} & \cfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{2} \\ \cfrac{1}{2} & -\cfrac{1}{2} \end{pmatrix}$$

 

1-2. 아래와 같이 주어지는 함수 $\mathbf{f}: (0,\infty) \times [0,2 \pi) \to \mathbb{R}^2$를 극좌표 변환(Polar-Cartesian  transformation)이라 한다. $$\begin{align} \mathbf{f}(r,\ \theta) &= (r \cos{\theta},\ r \sin{\theta}) \\ &= (x,\ y)  \end{align}$$ 극좌표 변환의 야코비 행렬은 다음과 같다. $$\mathbf{J}_{\mathbf{f}} = \begin{pmatrix} \cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \cfrac{\partial y}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -r\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & r\cos{\theta} \end{pmatrix}$$

 

2. $m=n$일 때 야코비 행렬의 행렬식 $ \text{det}\ \mathbf{J}_{\mathbf{f}} $를 생각할 수 있는데, 이를 야코비 행렬식(Jacobian determinant) 또는 간단히 야코비안(Jacobian)이라 한다. 야코비 행렬식은 점 $\mathbf{p} \in D$ 근방에서 함수 $\mathbf{f}$에 대한 중요한 정보들을 제공한다.

 

2-1. (역함수 정리) $\text{det}\  \mathbf{J}_{\mathbf{f}} (\mathbf{p}) \neq 0 $이면 $\mathbf{f}$는 $\mathbf{p}$ 근방에서 역함수 $\mathbf{f}^{-1}$를 가지고, 그 야코비 행렬은 $\mathbf{J}_{\mathbf{f}}$의 역행렬과 같다. 즉, $$ \mathbf{J}_{\mathbf{f}^{-1}} = {\mathbf{J}_{\mathbf{f}}}^{-1}$$이다. 역함수 정리는 국소적 가역성(local invertibility)에 대해 말해준다.

 

2-2. (치환적분) $\mathbf{f}: D \to \mathbb{R}^n$가 임의의 $\mathbf{x} \in D$에 대하여 $\text{det}\ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) \ne 0$인 일대일 함수(one-to-one function or injection)라 하자. $\mathbf{f}$의 치역에서 정의된 적분 가능한 다변수 함수 $g:\mathbf{f}(D) \to \mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_A g(\mathbf{y})\ d\mathbf{y} = \int_{\mathbf{f}^{-1}(A)} g [ \mathbf{f}(\mathbf{x}) ] \vert \text{det}\ \mathbf{J}_{\mathbf{f}} (\mathbf{x}) \vert \ d\mathbf{x}$$

 

2-3. $xy$-평면 상에서 꼭짓점 $(1,0)$, $(2,0)$, $(0,-2)$, $(0,-1)$을 가지는 사다리꼴 영역을 $A$라 할 때 다음 정적분의 값을 구해 보자. $$\iint_{A} e^{\frac{x+y}{x-y}}\ dxdy $$ 1-1에서의 변환 $\mathbf{f}$를 이용하면 $$\iint_{\mathbf{f}^{-1}(A)} \frac{1}{2}e^{\frac{u}{v}}\ dudv$$이고, 이 때 $\mathbf{f}^{-1}(A)$는 $uv$-평면 상에서 꼭짓점 $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(-1, 1)$을 가지는 사다리꼴 영역이 된다. $$ \mathbf{f}^{-1}(A) = \{ (u,\ v) \vert -v \le u \le v,\ 1 \le v \le 2\}$$ 따라서 구하고자 하는 정적분은 $$\begin{align} &\frac{1}{2}\int_{1}^{2} \int_{-v}^{v} e^{\frac{u}{v}}\ du dv \\ =&\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e} \right)\int_{1}^{2} v\ dv \\ =&\frac{3}{4}\left(e-\frac{1}{e} \right) \end{align}$$이다.

 

2-4. 가우스 적분 $$I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2}\ dx $$의 값은 극좌표 변환을 통해 구할 수 있다. 즉, $$ \begin{align} I^2 & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2) }\ dx dy \\ &= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} re^{-\frac{1}{2}r^2}\ dr d \theta \\ &= \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\infty} r e^{-\frac{1}{2}r^2}\ dr \\ &= 2 \pi \end{align} $$로부터 $I = \sqrt{2 \pi}$를 얻는다.

References

김우철, 개정판 수리통계학